Metrica Uniforme su R^J

Metrica Uniforme su ${\mathbb{R}}^J$

Sia $J$ un’insieme di indici, e siano $x=(x_a{)}_{a\in J},y=(y_a{)}_{a\in J}$.
Definisco $\overline{p}:=\underset{a\in J}{\sup }\left\{\overline{d}(x_a,y_a)\right\}$ come la metrica uniforme su ${\mathbb{R}}^J$
Questa è una generalizzazione della metrica uniforme.

Dim

Dimostro che è una metrica:
Le proprietà 1, 2 e 3 sono ovvie, dimostro la disugaglianza triangolare:
Siano $x,y,z\in {\mathbb{R}}^J$: poiché la dis. triangolare vale per $\overline{d}$, si ha che:
$\overline{p}(x,z)=\underset{a\in J}{\sup }\left\{\overline{d}(x_a,z_a)\right\}\le \underset{a\in J}{\sup }\left\{\overline{d}(x_a,y_a)+\overline{d}(y_a,z_a)\right\}\le$
$\le \underset{a\in J}{\sup }\left\{\overline{d}(x_a,y_a)\right\}+\underset{a\in J}{\sup }\left\{\overline{d}(y_a,z_a)\right\}=\overline{p}(x,y)+\overline{p}(y,z)$